Beskrivningen i din fråga förklarar ganska mycket saker. Jag skulle uttrycka det i lite olika ord som kan hjälpa till eller inte, det vill säga att röntgenfotonen inducerar ett dipolmoment i atomen (en fältinducerad dipol) som sedan strålar ut och så är röntgen spridd. Detta är ganska mycket vad som händer vid spridning av synliga fotoner och vi måste anta att foton är avlägset i energi från alla övergångar. (I Compton sprids en del av röntgenergin elektronen, så frekvensen hos den utspridda röntgen ändras).

Det fältinducerade dipolmomentet är proportionellt mot polariserbarheten som för en enkelbunden elektron är $$ \ alpha = \ frac {e ^ 2} {m} \ left (\ frac {1} {\ omega_0 ^ 2- \ omega ^ 2} \ right) $$

där $ \ omega_0 $ är resonansfrekvensen för den bundna elektronen och $ \ omega $ röntgenfrekvensen och så $ \ omega >> \ omega_0 $ som i gränsen ger $$ \ alpha \ rightarrow - \ frac {e ^ 2 } {m \ omega ^ 2} $$ Således reduceras beräkningen till att förstå QM-beräkningen för polariserbarheten. Se till exempel Atkins & Friedmann 'Molecular Quantum Mechanics' Ch $ 12 $.

(Genom att beakta att röntgen är en plan våg ges intensiteten för spridd strålning relativt den händelsen av $$ \ frac {I} {I_0} = \ frac {e ^ 4} {m ^ 2c ^ 4R ^ 2} P (\ theta) $$

där R är avståndet från spridningscentret till detektorn, m elektronmassan och $ \ theta $ spridningsvinkeln och $ P (\ theta) = (1+ \ cos ^ 2 (\ theta)) / 2 $ är kallas polarisationsfaktorn. Denna formel är ibland uppkallad efter Thomson. $ m ^ {- 2} $ visar varför signifikant spridning endast sker från elektroner och inte från protoner. Boken av Flygare 'Molecular Structure and Dynamics' avsnitt 8.5 ger en detaljerad beskrivning av röntgenspridning i allmänhet och detaljer såsom beräkning av atomspridningsfaktorer.)

Att förklara diffraktionen av en foton av ett kristallgitter kvant mekaniskt är detsamma som att hitta vilken momenta som kan överföras till foton av kristallgitteret. Det enklaste sättet att modellera detta, som Ivan noterade, är att beskriva momentumstillstånden för en partikel i denna typ av potential eftersom dessa är momentan som kan överföras till foton. Var och en av barriärerna i detta tolkas som en av atomerna i kristallgitteret. Generellt tas ett 1D-tillvägagångssätt, men det beror bara på att det är förklarande och att förlängning till 3D inte är mycket svårare.

I tolkningen som jag kommer att ge, som jag oftast upprepar från den här länken, bör själva gallret vara ändligt eftersom vi aldrig riktigt skulle se diffraktion av ett oändligt galler. Således är den rumsliga vågfunktionen helt enkelt en summa av periodiska funktioner såsom $$ \ Psi (x) = \ sum_ {i = 1} ^ N \ cos (2 \ pi n \ cdot \ frac {x} {L}) $$ där $ L $ är avståndet mellan två atomer och $ n $ är ett heltal. Det är så enkelt som Fourier-omvandling till momentum och att hitta den resulterande sannolikhetstätheten. Denna täthet tolkas sedan som diffraktionsmönstret. Fourier-transformen har formen av $$ \ Phi (p) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {\ frac {-L} {2}} ^ {\ frac {L} { 2}} \ Psi (x) ^ 2e ^ {ipx} dx $$

Detta är verkligen inte den mest detaljerade beskrivningen man kan ge, men det kommer förmodligen att vara den teoretiska grunden för någon tolkning av Röntgendiffraktion. Det är också ganska upplyst. För att citera från länken tidigare kan tolkningen av detta diffraktionsmönster anges som,

Enligt kvantmekanisk tolkning av diffraktion, när denna endimensionella elektrondensitetsfördelning interagerar med en X- strålkälla lokaliseras de enskilda fotonerna tillfälligt samtidigt på alla gallerställen. Osäkerhetsprincipen kräver att lokal lokalisering leder till en delokalisering (spridning) av momentumfördelningen och utseendet på störningskanter eftersom den rumsliga lokaliseringen sker på flera platser.

Jag tycker att det är en ganska lysande tolkning eftersom den är mycket lik den klassisk uppfattning om foton som gör att elektronerna slungrar runt, men med den extra detaljerna att elektronerna redan slösade runt några till att börja med.

Man kan också ta metoden att behandla detta som en partikel-partikelkollision , som länken ovan också fungerar igenom. Detta är mer detaljerat, men du når samma svar. Det faktum att du kan behandla systemet på det här sättet och komma till rätt svar bekräftar i grunden den ursprungliga tolkningen att amplituden för momentum-rymdvågsfunktionen är en bra representation av diffraktionsmönstret eftersom dessa är det enda momenta som kan överföras till foton.

För att förklara hur det är inte så svårt att gå till 3D-fallet skulle vi helt enkelt ändra vår rumsvågfunktion till att vara en produkt av periodiska funktioner x, y och z. Tänk partikel i en 3D-låda vågfunktioner. Fouriertransformationen är nästan densamma som tidigare eftersom den tredubbla integralen kunde separeras i tre identiska 1-dimensionella integraler. Naturligtvis vill du inte riktigt göra denna integral för mer än som två atomer. Märkligt nog om du använde oändliga atomer skulle det faktiskt vara lättare eftersom du kunde använda Blochs teorem.

Det finns en välkänd övning i grundkurserna för kvantmekanik: beräkna en vågfunktion i ett 1D-system med en rektangulär potentialbarriär i mitten. Resultaten tolkas sedan som spridning av en våg på nämnda barriär: en del av den reflekteras och en del tränger igenom (troligen tunnlar ) barriären och fortsätter på väg .

Tja, spridningen av röntgenstrålar på en atom är en liknande sak, bara något mer komplicerad: vi har en 3D-inställning, med sfäriska vågor utöver plana vågor, och med en atom istället för den rektangulära barriären. Förutom det är problemet i stort sett detsamma.